理解瞬态分析中的极点和零点
极点和零帮助你理解电路中的反馈和瞬态响应
我们经常在这里讨论瞬态响应，因为处理瞬态的存在是确保信号完整性的许多重要方面之一。从传输线中的振铃到数字电路中的开关，任何电路中的暂态描述了电路在两个稳态平衡之间转换时的行为。了解这种行为可以帮助您确定设备是否会按预期运行，以及是否应该在电路中采取额外措施，以确保系统中不同自由运行状态之间的平稳过渡。
分析极点和零点提供了一种简单的方法来检查电路在不同自由运行状态之间切换时的行为。一个简单的例子是数字信号驱动程序从OFF切换到ON;驱动电路从0v到HIGH逻辑电平产生阻尼过渡。系统的极点和零点很好地描述了这种行为。对于由任意波形驱动的更复杂的线性电路，包括带有反馈的线性电路，极点和零点揭示了大量关于系统稳定性和时域响应的信息。
傅里叶分析与拉普拉斯域传递函数
当大多数设计师讨论转移函数而且波德图，他们实际上是在观察电路的稳态行为。这告诉你在所有瞬态响应衰减回零后，任意输入信号中不同的频率分量如何受到电路的影响。这很容易告诉你输入正弦信号的相位和振幅是如何受电路影响的，以及在输出时测量什么。
然而，频域中的传递函数并不能告诉你电路中的瞬态是如何表现的，也不能告诉你以下信息:
瞬态响应，包括振荡器中的任何欠阻尼响应。
瞬态响应的衰减或增长速率。
换句话说，在频域工作并不能说明电路如何在暂态消失后从非驱动状态过渡到驱动状态。频域传递函数仍然非常有用，因为您可以很容易地检查任意信号(如数字脉冲)是如何被电路转换和扭曲的。
然而，拉普拉斯域问题同样重要，因为它告诉你一些关于稳定性的东西。首先，它向您展示了当系统接近稳态(如果它存在的话)时，瞬态响应是如何衰减或增大的。第二，它很好地展示了系统的响应在有反馈的情况下是否稳定。一个例子是在线性控制电路中，它需要反馈来确保系统保持在期望的状态下被控制(注意摄动技术在非线性控制电路中变得很重要)。
在拉普拉斯域中工作
这里需要注意的是，传递函数分析和极点零分析只适用于线性电路．如果有非线性电路元件(如晶体管或二极管)，则只能考虑近似的线性响应，即当电路在低电平驱动时。线性电路中由强制函数F(t)驱动的电压或电流u(t)可以写成n阶线性非齐次微分方程(如下图所示)。
在拉普拉斯域中确定极点和零点的方法
注意，这些方程中的系数都是实数。通过对方程的每一边进行拉普拉斯变换，可以将系统的微分方程变换到拉普拉斯域中。右边(在第二步中)可以展开为泰勒级数，如果它不是一个多项式函数。在某些情况下，强制函数F(t)可以写成其线性常微分方程的解，并转换为拉普拉斯域(一个简单的例子是正弦函数)。在这种情况下，右边的拉普拉斯变换总是一个多项式泰勒级数展开是不必要的。
你现在可以用拉普拉斯变量s定义一个传递函数。这通常是通过将多项式因式分解到分子和分母来确定的。如下图所示，其中z指的是0,p指的是极点。
拉普拉斯域中的传递函数
注意，上面的方程是在初始条件为零的情况下定义的。因为我们处理的是一个纯线性电路，通过对电路中的响应进行平移变换，一个初始条件总是可以设为零。剩下的初始条件是一个与s无关的实常数，因此它被集中到传递函数的极点项中，只确定极点的实部。
回到时域
因为在分子和分母中定义的多项式的系数是复的，极点和零点必须要么是纯实数，要么以复共轭对的形式出现。如果你愿意，你可以用传递函数用拉普拉斯逆变换来确定时域的响应用系统的初始条件。假设L是拉普拉斯变换。系统在时域u(t)内的响应为:
转换回时域。注意，电路的响应是用极点和零点表示的。
在具有时间或相位延迟的电路中，传递函数不是多项式的简单比率，而通常是指数函数。在传递函数中也可以出现指数因子，它乘以多项式的比率。
解释波兰和零
那么极点和零点对于电路的行为到底意味着什么呢?首先，让我们看看线性电路中的极点。简而言之，它们描述了系统如何响应不同的输入。哪个响应被激发取决于强迫函数的形式和初始条件电路中。下图展示了一些极点的例子以及它们与系统稳定性的关系。
在时域中解释系统的极点和相应的瞬态响应
图左半部分的极点总是产生稳定响应，即瞬态响应衰减到系统中的新稳态。虚部为阻尼振荡频率，实部为阻尼常数。这正是与振铃相对应的行为类型，即欠阻尼振荡，这是用复共轭极点对表示的。
也可能存在临界阻尼或过阻尼的瞬态响应，这可以用实轴上的单极表示。这正是当数字信号在ON和OFF状态之间切换时，电压和电流在不同阻尼振荡器电路中的行为。注意，你可以使用复共轭极来计算当驱动在a时是否会在这个电路中发生共振特定的正弦频率；你也可以用一个复极来计算共振频率周围的带宽。
图表右侧的极点显示了一个不稳定的响应。这通常发生在具有正反馈的线性电路中。在这种情况下，瞬态振荡随时间增长而偏离稳态。在实际的电路中，非线性效应会导致不稳定的响应饱和，或者由于系统中电压/电流的指数增长，电路简单地耗尽。最后，可以是纯振荡;这将发生在一对位于虚轴上的复共轭极上。
理解零
这些零所描述的正是它们名字的含义;这些是电路中不产生响应的输入频率。在波德图中，它们会突然下降到负无穷。注意，在上面的图中，零对应直流驱动;换句话说，直流信号将产生零响应，没有瞬态响应。
虚轴上的零对应于电路中产生零响应的特定频率。相反，实轴上的0对应于0对指数增长或指数下降的输入的响应。
耦合和反馈呢?
注意，我们没有考虑带有强迫项的耦合方程，这通常出现在具有复杂反馈系统的线性电路中。在不能解耦为单个方程的线性电路中，最好应用非自治耦合线性微分方程的稳定性分析技术。
在有反馈的线性电路中，不稳定性很容易产生。尽管传递函数的局限性仅限于纯线性电路，但它可以用来设计非线性电路的线性控制电路，逼近非线性电路在期望平衡点附近的响应。注意，这与耦合非线性非自治系统使用的方法相同(即所谓的冻结系数法)。
为什么要和波兰和零一起工作?
这是一个公平的问题;有人可能会想为什么你不用频率扫描或标准时域瞬态响应模拟．首先，频率扫描只显示了当系统被不同频率驱动时在稳态下发生的情况;它没有说任何关于瞬时响应的东西。其次，时域模拟也可以显示瞬时响应，但很难确定电路中是否会发生谐振。瞬态模拟应补充极零分析;在确定了极点和零点之后，它们对于深入了解电路的时间响应非常有用。
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