时域有限差分(FDTD)方法的应用

2020年8月28日

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了解时域有限差分法的优点。
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电动力学、量子物理、静电学、热力学和麦克斯韦方程。

在科学和电子领域，总是有问题或方程需要解决。在这些和类似的研究或重点领域的发展过程中，有一些方法用于实现这一精确目的。在智能手机营销中，俗话说:“有专门的应用程序。”

然而，在电子和科学领域，总有一种方法可以做到这一点。在这种情况下，所讨论的技术或方法是时域有限差分(FDTD)。我们利用这种方法来模拟计算电动力学或找到相关微分方程组的近似解。

时域有限差分(FDTD)

Kane S. Yee在1966年首次引入了我们称之为时域有限差分方法的数值分析技术。直到今天，许多人仍然把这种方法称为Yee的方法。它直到1980年才被正式命名为FDTD方法。

FDTD方法是詹姆斯·克拉克·麦克斯韦方程组的离散近似，在时间和三维空间中数值和同时求解。在整个过程中，磁场和电场在计算域内的任何地方都被计算，并作为从t = 0开始的时间函数。

注:詹姆斯·克拉克·麦克斯韦方程象征着最精炼和格言的方式之一，以说明磁电的基本原理。这些方程包括:

电的高斯定律
高斯磁力定律
法拉第感应定律
安培定律

麦克斯韦方程组是时域有限差分法的基础，它描述了电磁的作用和行为。总之，这是一种技术计算电磁学模拟．业内人士认为这是模拟电磁对特定物体或材料影响的最简单、最有效的方法。

FDTD方法

利用FDTD方法将时间和空间分割成不同的段。它提供了空间分割成盒状细胞，与整体波长相比较小。电场的精确位置在立方体的边缘。然而，磁场的位置是在盒状细胞的表面。

综上所述，FDTD计算有三个步骤:

在Yee单元中将整个区域离散成小单元(定义为Δx， Δy和Δz)。
在网格中定义模型的电学性质(电导率和介电常数)。
麦克斯韦方程组中偏导数的微分商代入。

注意:在上面的摘要中，大写的Delta (Δ)表示更改。

获取主字段在时间和空间上的参数后，还可以计算其他次要度量。这些量包括频域特征如阻抗(输入)，雷达横截面，散射参数，远场辐射模式，等等。

时域有限差分的应用与公式“，

时域有限差分法是一种有限域数值方法;因此，我们必须截断问题的计算域。我们还必须在计算域的边界上执行适当的边界条件。例如，在一个结构(屏蔽)中，我们将所有物体都封闭在一个完美的磁性或电导体盒中。

对于开放边界问题，例如天线，我们利用吸收边界条件如PML(完美匹配层)来模拟自由空间。在这种情况下，吸收边界允许入射波和场在没有反射的情况下流过它们。就FDTD仿真时间而言，与以下参数直接相关:

计算域的大小。
PML壁与封闭物体的接近程度。

我们必须通过使用适当的网格方案来近似FDTD的计算域，但该方法本身提供了物理结构的宽带模拟。为了产生必要的光谱信息，我们需要一个合适的宽带时间波形来激发物理结构。你选择一个波形，时间延迟，带宽将影响FDTD循环的合并行为(时间行进)。

采用时域有限差分法

一个特别值得关注的问题是FDTD方法的时间推进方案的数值稳定性。因此，为了满足Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)稳定性条件，您的时间步长需要与最大网格单元大小成反比。

注:Courant-Friedrichs-Lewy条件是数值求解某些偏微分方程时收敛的必要条件。这出现在不同的时间积分方案的数值分析，当我们利用这些数值解。

从功能上讲，高分辨率网格需要更小的时间步长。在操作上，如果让计算域中的场完全进化，那么更小的时间步长需要更显著的时间步长来收敛。

使用时域有限差分法，续

在实现麦克斯韦方程组的时域有限差分解法时，必须建立一个计算域。我们将计算域定义为我们执行模拟的物理区域。在这种情况下，我们确定计算域内空间中每个点的H和E场。我们还指定了这个计算域内每个单元格的材料。所讨论的材料通常是金属、电介质或自由空间(空气)。

你可以利用任何材料，只要你指定它的导电性、介电常数和渗透性。请记住，您不能直接将色散材料的介电常数以表格形式代入FDTD格式。因此，您可以利用多个德拜、德鲁德、洛伦兹、修正洛伦兹、QCRF(二次复有理函数)或CCPR(复共轭极点残差)模型进行近似。

在建立网格材料和计算域之后，我们然后指定一个源。源可以是外加电场、撞击平面波或导线上的电流。对于撞击平面波，我们可以使用FDTD方法来模拟平面周期结构、无限周期结构的光子带结构和任意形状物体的光散射。

因为我们直接确定了E和H场，所以模拟的输出通常是一系列点或计算域内的一个点的H或E场。在此过程中，模拟将及时地向前发展H场和E场。通常，它对模拟返回的H和E字段进行处理。数据处理可以在正在进行的模拟过程中进行。最后，在FDTD方法计算紧凑空间区域内的电磁场时，可以通过近场到远场的转换获得辐射和/或散射远场。

时域有限差分是一种用于模拟计算电动力学的数值分析方法。尽管它仍然时域技术， FDTD解决方案能够在一次模拟运行中覆盖广泛的频率范围。