传递函数增益与相对稳定性

关键的外卖

• 传递函数增益=Yssr(t)，其中Yss表示稳态输出y(t)， r(t)为输入。

• 传递函数增益是传递函数的大小，设s=0。否则，也称为系统的直流增益，因为当输入恒定DC时s=0。

• 如果Ka是给定的传递函数增益，Kc是系统变得边缘稳定时的增益，则GM=KcKa

线性系统

传递函数、稳态和稳定性是我们在考虑控制系统时立即出现的一些术语。稳态和稳定性可以用系统的传递函数来定义。传递函数增益是将稳态条件和稳定性与传递函数联系起来的参数。它是在稳态条件下，你从系统接收到的输出与你输入到系统的量之比。

让我们用一个例子来定义传递函数增益:考虑用手掌踢一个球并来回弹跳。球弹起的高度和我们的手踢有一定的关系。在数学上，这一关系可以定义为球的弹跳高度与给定的踢力之比，并表示稳态条件下的传递函数增益。

传递函数增益的定义

考虑一个输入r(t)和输出y(t)的线性系统。经过瞬变后，输出稳定下来。设R(s)和Y(s)分别是输入和输出的拉普拉斯变换。设G(s)为系统的开环传递函数。设初始条件为零，则方程为:

传递函数增益可以定义为稳定状态下y(t)的比值，用

Y_党卫军对输入r(t)

我们假设稳态输出是在时间t趋于无穷时达到的。稳态输出可以定义为:

对于有界输入r(t)输出y(t)是有界的。现在我们来求稳态输出Y_党卫军(s)使用终值定理:

由式(1)求出Y(s)可得:

将式(5)代入式(4):

我们设R(s)是阶跃输入等于．代入式(6)可得:

将式(7)代入式(2):

由式(8)可得传递函数增益为传递函数的大小，设s=0。否则，称为系统的直流增益，当输入为恒定直流时，s=0。有了这些知识，只考虑一个一阶系统，带有传递函数:

传递函数增益为K，代入s=0。

传递函数的形式为:

其中N(s)和D(s)分别是分子多项式和分母多项式。K表示传递函数增益，与函数的顺序无关。

传递函数增益的相对稳定性

每一个控制系统设计者的目标都是一个稳定的系统，因为稳定性是系统按预期表现的一个重要因素。为效率高而且成本效益，在某些情况下，我们需要将系统操作拉到饱和区域或非线性。在这样的系统中，相对稳定性是一个重要的参数。相对稳定性是衡量系统有多接近不稳定的尺度。通常用增益裕量和相位裕量来定义。

设单位反馈系统由式(10)所示的开环传递函数定义。传递函数增益K可以乘以使系统略微稳定的因子称为增益边际GM_一个传递函数的增益和K是多少_c为系统边际稳定时的增益，则:

增益幅度通常以分贝表示:

Routh Hurwitz标准和波德图可用于寻找稳定系统的增益裕度。

当你在设计一个控制系统时，稳定性是最重要的。如果你知道系统的传递函数增益，计算增益边际是一种检查相对稳定性的简单方法。Bode图和Routh Hurwitz图是计算收益边际的几种方法。Cadence设计工具可用于绘制频率响应，从而分析稳定性。PSpice软件提供了绘制波德曲线和频率曲线的最佳模拟工具。

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