声学、CFD和EM中的边界元方法是什么?

你能带走什么

• 边界元法是求解具有积分解的线性偏微分方程的一种数值解法。

• 积分解在空间中被表述为空间部分的格林函数解。

• 有一个相关的微分方程的时间解，尽管稳态解或谐波解通常被认为是考虑时间无关源。

计算流体力学模拟结果显示层流沿板表面

偏微分方程可以用分析方法作为简单系统进行分析，但现实世界很少像我们愿意相信的那样简单。具有复杂几何图形的实际系统需要数值方法来生成解，通常具有理想的边界条件和源。这听起来可能很模糊，但数值方法可以在面对近似输入时生成真实的物理结果。在电子学中，近似的来源包括组件产生的热量，风扇的外部气流，以及整个IC或PCB的电流密度。

任何耦合偏微分方程系统的一个重要输入是边界条件。在有源和已知边界条件的情况下，线性偏微分方程可以重新表示为积分方程。这就是边界元法可以用来确定系统的适当解的地方。如果你打算在声学、CFD和电磁问题中使用边界元方法，下面是你需要知道的事情。

声学中的边界元法是什么?

由于边界元方法具有相似性，研究声学是将边界元方法引入其他领域的重要途径。如果你不是一个铁杆数学家，理解边界元法仍然是相当容易的。定义了线性微分方程的边界元方法，其中格林函数可以计算。

考虑一个由时空偏微分方程控制的物理量a。格林函数G告诉你由于源位于(r '， t ')， A在某个时空坐标对(r, t)上的值。这是电磁学教科书中的标准公式，但它也用于声学中的边界元法，CFD，热方程拉普拉斯方程和其他多维物理量。

用一个简单的声学例子来理解边界元法可能是最简单的。考虑以速度势f(r, t)为声源的三维声波方程。速度势A(r, t)和相关的格林函数G(r, r '， t, t ')的波动方程为:

声速势的波动方程和相关的格林函数。

解决这类问题的目标是利用格林定理中的边界条件来定义格林函数上的曲面积分。这个问题通常在傅里叶域中被重写，并作为空间变量和频率的函数来求解，尽管下面的积分直接考虑了时域，并且可以处理f(r,t)的傅里叶变换未定义的情况。解A(r, t)可以通过傅里叶变换转换回时域，并将结果与初始条件进行比较。

请注意，在推导如下所示的格林积分时，G满足齐次边界条件。因为A(r, t)的值和导数都定义在系统，它们用于Green恒等式，推导出如下所示的积分，给出a (r, t)的完整解:

用格林函数解上面所示的波动方程。

而不是直接用FDTD, FVM或FEM时，该问题需要离散边界条件和系统中剩余区域。这允许格林函数在调用格林恒等式时，沿边界使用标准数值积分技术计算。

其他问题中的边界元法

边界元法可用于许多其他问题。光学中的一个例子是基尔霍夫积分，它被用来解决衍射问题;这涉及到用空间边界处的曲面积分来计算空间体积中的电磁场，因此很自然地使用边界元方法来解决这个问题。在电子学中，可以使用边界元方法的主要领域是电磁学、热传导和CFD问题。

电磁波与热传导问题“，

热传导在没有气流的情况下只是一个扩散问题，这里感兴趣的物理量是温度场。对于电磁学问题，相关的物理量是电势和磁势函数，或电场和磁场，它们服从它们自己的波动方程。在标准边界元问题中可以考虑与时间有关的源，就像声学中的边界元方法一样。

这些类型的问题在稳态下是基本的，因为它们本质上是一个拉普拉斯方程问题。对于带振荡源的电磁波方程，电磁场和辐射功率可以在频域内方便地计算，将变量从4个减少到3个。初始条件和边界条件仍然需要指定并包含在格林函数积分中。

热传导导致PCB上IC附近的稳态。

CFD问题

Navier-Stokes方程与CFD问题中的其他方程构成了一组非线性耦合微分方程。为了对该系统使用边界元法，需要对方程进行线性化。要么非线性项因为它们很小而需要忽略，要么需要应用近似来使方程组线性化。这相当于检查系统中围绕热源的流场、温度场和热流的微小变化。

即使在方程是耦合的情况下，也有一种方法来求解这组方程使用涉及系统格林函数的卷积。看看这篇研究文章求耦合扩散方程组或对流-色散方程组的格林函数的示例方法。所得结果可用于声学的标准边界元法。

当你需要在声学、电磁学、CFD或热传导问题中使用边界元方法时，你首先需要在一组中创建你的系统PCB设计与分析与3D场求解器集成的功能。的摄氏度热求解器而且SI/PI分析点工具Cadence集成到一个完整的系统中，用于分析CFD方程，然后可以用于复杂几何中的热和声学问题。

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